Серж де Арт / Статьи

Табличный метод Э.Бета и его применения в науке

© 1992 Серж де Арт (Сергей Свистунов)

Вместо эпиграфа:

Иногда говорят, что философия начинается там, где появляется поэзия.
Остается лишь добавить — она заканчиватся там, где не начинается математика.

  1. Метод семантических таблиц
  2. Применение к проблемам традиционной логики и философии
  3. Заключение

Начало своих самостоятельных логических исследований Бет относит к 1950 году, когда А.Тарский посетил Амстердам. Именно тогда Тарский убедил Бета в важности символической логики для философии и исследований по основаниям науки.

Как известно, в 1930 году Гедель установил эквивалентность семантического и формального подходов в теореме о полноте. Но эта связь устанавливалась сложным и окольным путем. Метод семантических таблиц, разработанный Бетом в 1955 г. делал эту связь простой и прямой, и вдобавок делал результаты Эрбрана и Генцена совершенно прозрачными. Ибо, как пишет Бет «на основе исследований, проведенных мною в течение последних лет, теперь я могу строить логические теории другим способом» (1, с.314) Отметим, что после построения Генценым системы натурального вывода (1934) появился ряд исследований других авторов, посвященных различным построениям логической теории. Так, среди представителей формального подхода можно назвать Р.Фейса (1945-47), Карри (1950), Шютте (1950), Хазенъегера (1952) и Клини (1952). Семантический подход разрабатывался Р.Карнапом (1942-43), К.Поппером (1947), Куайном (1950), Шольцем (1950-51). Но «эти авторы не установили тех тесных связей между семантикой и теорией выводимости, которые я пытаюсь доказать» (1, с.318). Главная идея Бета при доказательстве теоремы о полноте, состояла в систематическом отыскании контрпримера. Кстати говоря, «эта идея была использована независимо друг от друга Бетом (1955), Хинтиккой (1955), Шютте (1956) и Кангером (1957)» (2, с.341).

1. Метод семантических таблиц

Различие между семантическим следованием и формальной выводимостью было известно со времен Г.Фреге (1848-1925). Бет формулирует его следующим образом:

(i) V семантически следует из формул U1, U2, ..., Un тогда и только тогда, когда в каждой модели D, в которой истинны формулы U1, U2, ..., Un, также истинна формула V.

(ii) Формула V формально следует из формул U1, U2, ..., Un тогда и только тогда, когда существует конечная последовательность таких формул p1, p2, ..., pk, что каждое pi (i = 1, 2, ..., k) является одной из формул U1, U2, ..., Un или получается из формул предшествующих pi в последовательности p1, p2, ..., pk на основании применений установленной системы правил R, и pk совпадает с V.

Оба понятия логического следования неявно использовались и в традиционной логике. Метод поиска контрпримера, и, следовательно, метод установления семантического следования использовался в философских дискуссиях. Например, в споре Алексина и Зенона, когда последний доказывает, что Вселенная является мыслящим существом (3, с.262-63). Ниже я покажу, как использовал этот метод Чарльз Пирс. Понятие формальной выводимости и его отношение к семантическому следованию (которое является более фундаментальным) удалось прояснить только благодаря развитию символической логики.

До появления бетовских таблиц отдельно существовали таблицы истинности и отдельно различные системы исчислений. Смысл построения бетовских таблиц состоит в слудующем. Нужно проверить следует или не слудует (семантически) некоторая формула (V) из некоторого множества формул (U1, U2, ..., Un). Для этого достаточно показать что не найдется ни одного контрпримера опровергающего данное положение. Метод Бета как раз и состоит в отыскании контрпримера не случайным, хаотическим способом, а систематически. В левом столбце таблицы записываются истинные формулы, а в правом — ложные. Поэтому, допуская что формула V ложна, мы записываем ее в правый столбец, а посылки в левый. Сам Бет так описывает построение системы натурального вывода F :

(i) В левом столбце первоначальной таблицы вписываются исходные формулы U1, U2, ..., Un, аналогично, в правом столбце вписывается исходная формула V.

(ii) Если ~X появляется в оном из столбцов, то мы вписываем X в сопряженный столбец.

(iii)

... (продолжение следует)

2. Применение к проблемам традиционной логики и философии

Как заметил Бет, его результаты в области математической логики «всегда зависели от его философских соображений». Он использовал свой метод для прояснения философских проблем, в частности проблемы Локка-Беркли и метода экспозиции Аристотеля.

1. В основе проблемы Локка-Беркли лежит вопрос: как доказывая на примере отдельного (единичного) объекта, например треугольника, мы делаем общий вывод для всех объектов. Ведь теоремы математики в том и состоят, что они верны для всех частных случаев. В этой связи интересен разбор Кантом случая с геометром, доказывающим теорему о том, что «сумма углов треугольника равняется двум прямым углам»:

Он (геометр) начинает непосредственно с построения треугольника. Зная, что два прямых угла равняются сумме всех соприкасающихся углов, построенных из одного пункта на одной прямой, он удлиняет одну сторону треугольника и получает два соприкасающихся угла, которые вместе равны двум прямым ..., таким образом, посредством цепи умозаключений, руководствуясь интуицией, он доходит до вполне очевидного и общего решения вопроса» (6, с.539)
Очевидно, что Кант демонстрирует конструктивный подход к математике. Здесь, как отмечает Бет, имеется два разных вопроса:

(a) почему в доказательстве теоремы, истинной для всех треугольников, рассматривается единичный объект?

(b) как такое доказательство приводит к общему заключению?

Одним из первых дал ответ на этот вопрос Дж.Локк в своем учении об абстрактных идеях. Доказательство геометра относится не к конкретному объекту, а к тому, что он называет

«общей идеей треугольника, ... ибо она не должна быть идеей ни косоугольного, ни равностороннего, ни равнобедренного, ни неравностороннего треугольников; она должна быть всеми ими и ни одним из них в одно и то же время» (7, с.74)
Беркли отреагировал на это следующим образом :
«... хотя идея, которую я имею в виду в то время как произвожу доказательство, есть, например, идея равнобедренного прямоугольного треугольника, стороны которого имеют определенную длину, я могу тем не менее быть уверенным в том, что оно распространяется на все прочие прямолинейные треугольники, какой бы формы или величины они не были, и именно потому, что ни прямой угол, ни равенство или определенная длина двух сторон не принимались вовсе в соображение при доказательстве. Правда, что диаграмма, которую я имею в виду, обладает всеми этими свойствами, но о них совсем не упоминалось при доказательстве теоремы» (8, с.163)
Тем самым Беркли отвечает на второй вопрос. Родоначальник интуиционизма Декарт, полагая, что средний термин в цепи силлогистических умозаключений необходим для стимуляции интуиции, тем самым отвечал как-бы на первый вопрос. На первый вопрос отвечает также Юм, о чем свидетельствует следующая цитата:
«Ибо одной из наиболее удивительных особенностей рассматриваемого факта явяляется то обстоятельство, что как только ум производит единичную идею, служащую предметом нашего суждения, сопутствующая ей привычка, пробужденная общим или абстрактным именем, легко подсказывает нам другую единичную идею, в случае если наше суждение не согласуется с последней ... Так, если мы упомянув слово треугольник, образуем при этом отвечающую ему идею отдельного равностороннего треугольника и станем затем утверждать, что три угла треугольника равны друг другу, то другие единичные идеи равнобедренного и равностороннего треугольника, которые мы сперва оставили без внимания, немедленно предстанут перед нами и заставят нас заметить ложность этого положения, хотя оно и верно по отношению к идее, которую мы создали» (9, с.111)
Юм подчеркивает, что критическое мышление происходит из дискуссии. Математик умеет предвидеь контрпример, чтобы избегать ложных обобщений. И, вероятно, это предвидение переносится с уровня дискуссии на уровень формального рассуждения. Ведь диалог с собой является частным случаем дискуссии.

Рассмотрим как решает эту проблему Бет средствами современной логики. Допустим, что мы формализовали элементарную геометрию, используя переменные X, Y, Z, ... значением которых являются точки. Если TR (x, y, z) выражает условие при котором точки X, Y, Z образуют треугольник и если U (X, Y, Z) выражает условие при котором сумма углов ZXY, XYZ, YZX равняется двум прямым, тогда теорема обсуждаемая Кантом, выразима через формулу:

(1) ***

Пусть K будет множеством аксиом геометрии. Тогда можно построить семантическую таблицу, соответствующую доказательству, которое начинается с посылок и приводит к заключению (1).

***

Так как формула (1) есть логическое следствие из посылок K, то ясно, что таблица закроется. Эта таблца дает вывод:

***

Данный тип доказательства послужил источником возникновения проблемы. Вначале добавляем к посылкам формулу (5): «Пусть ABC будет некоторый треугольник (любой)». Затем доказывается формула (6): «Сумма углов в треугольнике равняется двум прямым углам». Мы избавляемся от дополнительного допущения и формулируем заключение в гипотетической форме: «Если ABC треугольник, то ...». И, наконец, мы обобщаем заключение. В соответствии с вопросом (a): введение конкретных точек A, B, C обусловлено способом, которым формула заключения (1) должна рассматриваться при построении семантической таблицы. Тогда можно дать ответ и на второй вопрос (b): если семантическая таблица закрывается, то заключение однозначно логически следует из посылок.

Бет подчеркивает, что «удивительная структура доказательства не имеет никакой связи с интуицией, что оно определено структурой самого заключения» (10, с.78). И, что «нет существенной разницы между формально-логическим и геометрическим процессом рассуждения» (11, с.48). Надо отметить, что Бет всегд связывал существенные свойства математики с дедукцией. Однако, в последние годы жизни, он пришел к выводу, что дедуктивные теории не могут дать адекватного описания математических структур. Поэтому он считал, что «наше знание таких структур, по крайней мере частично, имеет интуитивный, непосредственный характер... Но философскую позицию интуиционизма он не принимал никогда». (12, с.165)

2. Другой пример связан с методом экспозиции Аристотлея. Аристотель, обосновывая правило простого обращения (conversio simplex), рассуждает следующим образом:

«Если A не присуще ни одному B, то и B не присуще ни одному A. Ибо если бы B было присуще какому-то A, например C, то было бы неправильно, что A не присуще ни одному B, так как C есть какое-то B» (13, с.121)
Это рассуждение аналогично геометрическому доказательству, которое рассматривает Кант. Оно требует, чтобы кроме общих терминов A и B, мы ввели отдельный объект C, который играет ту же роль, что и конкретный треугольник. Здесь, как считают интуиционисты, идет обращение к пространственной интуиции, к чувственной достоверности. Точка зрения интуиционизма (Декарт, Кант, Брауэр) состоит в том, что нелогический элемент является обязательным в математическом рассуждении. Бет отрицает это, впрочем как и сам Аристотель:
«Поэтому и говорилось, что надо предположить здесь нечто ложное, как геометры предположительно принимают длиной в стопу линию которая не такова. Дело, однако, здесь обстоять так не может. Ведь и геометры не принимают предположительно ничего ложного (Ибо условно принятая посылка не входит в силлогизм» (13, с.355)
Действительно, в некторой части доказательства может показаться, что необходимо ложное допущение, как, например, в нашем формальном выводе модуса CELARENT, когда была введена первая гипотеза. Однако, во всех этих случаях введенное допущение (возможно и ложное) затем устраняется. Поэтому оно не считается посылкой и это как раз то, о чем говорит Аристотель. В том же формлаьном выводе (доп.1) мы видим, что какой-то индивид выполняет условие S(z) & P(z) и мы обозначаем его, например, через «a». И в примере Аристотеля, если нам дан некоторый отрезок, то почему же не рассматривать его ка кдлину вообще? Кант полагал, что введение некоторого индивида (a или ABC-треугольника) необходимо для того, чтобы связать формальное доказательство с построением такого индивида, и следовательно этот тип доказательства выполняет требование пространственной интуиции. Бет подчеркивает, что «такие концепции, однако, явно не согласуются с представлением, которое мы получаем из семантической таблицы» (1, с.337).

Проиллюстрируем это на примере обоснования Аристотелем правила простого обращения.

Посылка: A не присуще ни одному B :

(1) ***

Заключение: B не присуще ни одному A :

(2) ***

*** Таблица закрыта, следовательно заключение (2) логически следует из посылки (1). Обратим таблицу в вывод:

***

Это доказательство еще раз свидетельствует в пользу тезиса Аристотеля, что геометры не прибегают к ложным посылкам.

3. Заключение

Табличный метод Бета занимает важное место в современной логике. Близкие ему идеи разработаны также Хинтиккой (метод модельных множеств), Смуллианом (метод аналитических таблиц). В конце 50-х П.Лоренцен построил диалоговую логику аналогичную правилам построения семантических таблиц. В настоящее время получены новые результаты в области атвтоматического доказательства теорем, где также используется метод таблиц. Сам Бет также развивал свой метод дальше. В 1956 г. он постоил с помощью него семантику для интуиционистской логики. Затем он построил модальную логику на основе семантических правил. Табличный метод позволил Бету получить новые результаты относительно метода Падоа в теории определимости. Это достижение известно как «Теорема Бета». В 1957 г. Лебланк отметил некоторые недостатки в семантических таблицах Бета и это привело к построению последним дедуктивных таблиц. Суть этого метода состоит в сведении одних форм доказательств к другим, более простым. Эта система явилась синтезом генценовских систем LK и NK, причем с дополнительными преимуществами. Примечательно, что построение дедуктивных таблиц может определяться чисто семантическими соображениями.

Итак, 50-е годы отмечаются в творчестве Бета повышенным вниманием к чисто логическим проблемам. Бет планировал сделать философские обобщения из этих работ. Но в связи с ранней кончиной, видимо, не успел сделать этого.

Библиография

  1. Beth E.W. Semantic Entailment and Formal Derivability // Mededelingen van de Koninklijke Nederlandse, 1955, 18, n.13, pp.357-88
  2. С.К.Клини. Математическая логика, М.1973
  3. Секст Эмпирик. Против ученых — Сочинения в 2х томах. М.1975, т.1
  4. Pierce C.S. On the Algebra of logic: A contribution to the Philosophy of Notation — Collected Papers of C.S.Pierce, vol.3, Cambridge, v.3
  5. З.Лис. Семантическая импликация и формальная импликация (резюме) // Studia Logica, 1960, v.10
  6. И.Кант. Критика чистого разума. С-Петербург, 1867
  7. Дж.Локк. Опыт о человеческом разумении — Сочинения в 3х томах, М.1985, т.2
  8. Дж.Беркли. Трактат о принципах человеческого знания — Сочинения. М.1978
  9. Д.Юм. Трактат о человеческой природе — Сочинения в 2х томах, М.1965, т.1
  10. Beth E.W. Aspects of modern logic, Reidel, 1970
  11. Beth E.W. and Piaget J. Mathematical epistemology and psychology. Reidel, 1966
  12. Staal J.F. E.W.Beth // Dialectica, 1965, v.19, pp.158-166
  13. Аристотель. Первая Аналитика, 1 книга — Сочинения в 4х томах, М.1978, т.2
  14. Аристотель. Метафизика, Книга 14 — Сочинения в 4х томах, М.1978, т.1

Санкт-Петербург, февраль 1992
*

[ Вверх ]

Серж де Арт / Статьи